16.2 Множественная линейная регрессия

В общем случае в регрессионный анализ вовлекаются несколько независимых переменных. Это, конечно же, наносит ущерб наглядности получаемых результатов, так как подобные множественные связи в конце концов становится невозможно представить графически.

В случае множественного регрессионного анализа речь идёт необходимо оценить коэффициенты уравнения

у = b₁-х₁+b₂-х₂+... + b_n-х_n+а,

где n — количество независимых переменных, обозначенных как х₁ и х_n, а — некоторая константа.

Переменные, объявленные независимыми, могут сами коррелировать между собой; этот факт необходимо обязательно учитывать при определении коэффициентов уравнения регрессии для того, чтобы избежать ложных корреляций.

В качестве примера рассмотрим стоматологическое обследование 1130 человек, в котором исследуется вопрос необходимости лечения зубного ряда, измеряемой при помощи так называемого показателя CPITN, в зависимости от набора различных переменных.

При этом зубной ряд был разделён на секстанты, для которых и происходило определение показателя CPITN. Этот показатель может принимать значения от 0 до 4, где 0 соответствует здоровому состоянию, а 4 наибольшей степени развития заболевания. Затем значения показателя CPITN для всех секстант были усреднены.

Файл zahn.sav содержит следующие переменные:

Имя переменной	Расшифровка
cpitn	Усредненное значение CPITN
alter	Возраст
g	Пол (1 = мужской, 2 = женский)
s	Образование (1 = специальное школьное, 2 = неполное школьное, 3 = среднее, 4 = аттестат зрелости, 5 = высшее образование)
pu	Периодичность чистки зубов (1 = меньше одного раза в день, 2 = один раз в день, 3 = два раза в день, 4 = долее двух раз в день)
zb	Смена зубной щётки (1 = каждый месяц, 2 = каждые три месяца, 3 = раз в полгода, 4 = ещё реже)
beruf (профессия)	Профессия (1 = государственный служащий/служащий, 2 = рабочий/профессиональный рабочий, 3 = занятость в области медицины, 4 = военный)

Переменные cpitn и alter принадлежат к интервальной шкале, а переменные s, pu и zb при более подробном рассмотрении можно отнести к порядковой шкале, так что они могут быть подвергнуты регрессионному анализу. Переменная g относится к номинальной шкале, но в то же время является дихотомической. Поэтому если при оценке результатов обратить внимание на полярность, то и эта переменная так же может быть вовлечена в регрессионный анализ. Однако, переменная beruf относится к номинальной шкале и имеет более двух (а именно четыре) категории. Поэтому, без дополнительной обработки ее нельзя применять в дальнейших расчётах.

В данном случае можно прибегнуть к специальному трюку: разложить переменную beruf на четыре, так называемых, фиктивных переменных, с кодировками отвечающими О (действительно) и 1 (ложно). В файл добавляются четыре новые переменные: berufl-beruf4, которые поочередно соответствуют четырём различным кодировкам переменной beruf. Так, к примеру, переменная berafl указывает на то, является ли данный респондент государственным служащим/работником (кодировка 1) или нет (кодировка 0).

Откройте файл zahn.sav.
Выберите в меню Analyze... (Анализ) Regression...(Регрессия) Linear... (Линейная)
Поместите переменную cpitn в поле для зависимых переменных, объявите переменные: alter, berafl, bеrа0, beru0, beruf4, g, pu, S.H zb независимыми.

Для множественного анализа с несколькими независимыми переменными не рекомендуется оставлять метод включения всех переменных, установленный по умолчанию. Этот метод соответствует одновременной обработке всех независимых переменных, выбранных для анализа, и поэтому он может рекомендоваться для использования только в случае простого анализа с одной независимой переменной. Для множественного анализа следует выбрать один из пошаговых методов. При прямом методе независимые переменные, которые имеют наибольшие коэффициенты частичной корреляции с зависимой переменной пошагово увязываются в регрессионное уравнение. При обратном методе начинают с результата, содержащего все независимые переменные и затем исключают независимые переменные с наименьшими частичными корреляционными коэффициентами, пока соответствующий регрессионный коэффициент не оказывается незначимым (в данном случае уровень значимости равен 0,1).

Наиболее распространенным является пошаговый метод, который устроен так же, как и прямой метод, однако после каждого шага переменные, используемые в данный момент, исследуются по обратному методу. При пошаговом методе могут задаваться блоки независимых переменных; в этом случае заданные блоки на одном шаге обрабатываются совместно.

Выберите пошаговый метод, но воздержитесь от блочной формы ввода данных, не задавайте больше ни каких дополнительных расчётов и начните вычисление нажатием ОК.

Model Summary (Сводная таблица модели)

Model (Модель)

R Square (Коэф- фициент детерми- нации)

Adjusted R Square (Скорректи- рованный R-квадрат)

Std. Error of the Estimate (Станда- ртная ошибка оценки)

,452а

,564b

,599с

,609d

,613е

,204

,318

,359

,371

,375

,203

,317

,358

,369

,373

,8316

,7698

,7467

,7402

,7380

a. Predictors: (Constant), Alter (Влияющие переменные: (константа), возраст)

b. Predictors: (Constant), Alter, Putzhaeufigkeit (Влияющие переменные: (константа), возраст, периодичность чистки)

c Predictors: (Constant), Alter, Putzhaeufigkeit, Zahnbuerstenwechsel (Влияющие переменные: (константа), возраст, периодичность чистки, смена зубной щётки)

d Predictors: (Constant), Alter, Putzhaeufigkeit, Zahnbuerstenwechsel, Schulbildung (Влияющие переменные: (константа), возраст, периодичность чистки, смена зубной щётки, образование)

е. Predictors: (Constant), Alter, Putzhaeufigkeit, Zahnbuerstenwechsel, Schulbildung, Arbeiter/Facharbeiter (Влияющие переменные: (константа), возраст, периодичность чистки, смена зубной щётки, образование, рабочий/профессиональный работник) .

Из первой таблице следует, что вовлечение переменных в расчет производилось за пять шагов, то есть переменные возраст, периодичность чистки, смена зубной щётки, образование, рабочий/профессиональный работник поочерёдно внедрялись в уравнение регрессии. Для каждого шага происходит вывод коэффициентов множественной регрессии, меры определённости, смещенной меры определённости и стандартной ошибки.

К указанным результатам пошагово присоединяются результаты расчёта дисперсии (см. гл. 16.1.1), которые здесь не приводятся. Также, пошаговым образом, производится вывод соответствующих коэффициентов регрессии и значимость их отличия от нуля.

Coefficients (Коэффициенты) ^a

Model (Модель)		UnStan- dardized Coefficients (He стандарти-зированные коэф- фициенты)	Standa- rdized Coefficients (Стандарти-зированные коэф-фициенты)	Т	Sig. (Значи мость)
	В	Std. Error (Станда- ртная ошибка)	ß (Beta)
	(Constant) (Константа) Alter (Возраст)	1,295 3,31 Е-02	,071 ,002	,452	18,220 17,006	,000 ,000
2	(Константа) Возраст Перио- дичность чистки	3,024 3.20Е-02 -,604	,142 ,002 ,044	,437 -,339	21,317 17,765 -13,756	,000 ,000 ,000
3	(Константа) Возраст Перио- дичность чистки Смена зубной щётки	1,903 3.25Е-02 -,439 ,253	,191 ,002 ,047 ,030	,443 -,246 ,222	9,976 18,555 -9,376 8,473	,000 ,000, ,000 ,000
4	(Константа) Возраст Перио- дичность чистки Смена зубной щётки Образование	2,188 3,31 Е-02 -,391 ,226 -,115	,199 ,002 ,048 ,030 ,025	,451 -,220 ,199 -,116	10,992 19,011 -8,235 7,498 -4,580	,000 ,000 ,000 ,000 ,000
5	(Константа) Возраст Перио- дичность чистки Смена зубной щётки Образование Рабочий/ Профес- сиональный работник	2,022 3.20Е-02 -,379 ,229 -8.3Е-02 ,143	,208 ,002 ,048 ,030 ,028 ,052	,437 -,213 ,201 -,084 ,075	9,743 18,041 -7,964 7,613 -2,983 2,757	,000 ,000 ,000 ,000 ,003 ,006

а. Dереnаdеnt variable: Mittlerer CPITN-Wert (Зависимая переменная: усреднённое значение CPITN)

Вдобавок ко всему для каждого шага анализируются исключённые переменные. В вышеприведенной таблице в объяснениях нуждаются лишь коэффициенты ß. Это — регрессионные коэффициенты, стандартизованные соответствующей области значений, они указывают на важность независимых переменных, вовлечённых в регрессионное уравнение.

Уравнение регрессии для прогнозирования значения CPITN выглядит следующим образом:

cpitn = 0,032•alter - 0.379•рu + 0,229•zb - 0,083•s + 0,143- benif 2 + 2,022

Для 40-летнего рабочего с неполным школьным образованием, который ежедневно чистит зубы один раз в день и меняет щётку раз в полгода, с учётом соответствующих кодировок, получается следующее уравнение:

cpitn = 0,032•40-0,379•2 + 0,229•3- 0,083•2 + 0,143•1 + 2,022 = 3,208

При помощи соответствующих опций можно организовать вывод большого числа дополнительных статистических характеристик и графиков, на которых мы здесь останавливаться не будем. Можно также создать много дополнительных переменных и добавить их в исходный файл данных.

Важным моментом является анализ остатков, то есть отклонений наблюдаемых значений от теоретически ожидаемых. Остатки должны появляться случайно (то есть не систематически) и подчиняться нормальному распределению. Это можно проверить, если с помощью кнопки Charts... (Диаграммы) построить гистограмму остатков. В приведенном примере наблюдается довольно хорошее согласование гистограммы остатков с нормальным распределением.

Проверка на наличие систематических связей между остатками соседних случаев (что, однако, является уместным только при наличии так называемых данных с продольным сечением), может быть произведена при помощи теста Дарбина-Ватсона (Durbin-Watson) на автокорреляцию. Этот тест вычисляет коэффициент, лежащий в диапазоне от 0 до 4. Если значение этого коэффициента находится вблизи 2, то это означает, что автокорреляция отсутствует. Тест Дарбина-Ватсона можно активировать через кнопку Statistics (Статистические характеристики). В данном примере тест дает удовлетворительное значение коэффициента, равное 1,776.

Ещё одной дополнительной возможностью является задание переменной отбора в диалоговом окне Linear Regression (Линейная регрессия). Здесь, с помощью кнопки Rule... (Правило) в диалоговом окне Linear Regression: Define Selection Rule (Линейная регрессия: ввод условия отбора), Вы получаете возможность при помощи избирательного признака сформулировать условие, которое будет ограничивать количество случаев, вовлеченных в анализ.

Рис. 16.14: Гистограмма остатков

Содержание раздела