16.7 Пробит-анализ

Этот метод известен также под именем "Дозаторный анализ кривых воздействия" и находит применение преимущественно в области токсикологии. В большинстве случаев речь идёт о том, как на заданное количество индивидуумов воздействуют различные дозировки некоторого вещества (к примеру, некоторого токсичного вещества).

Классический пример, который вошёл и в справочник по SPSS, исследует действие средства, предназначенного для уничтожения насекомых. При этом производится подсчёт, сколько насекомых из заранее известного количества погибли при воздействии определённых доз вещества. Особенный интерес в данном случае представляет дозировка, при которой уничтожается половина имеющихся насекомых.

Оставим животных в покое и обратимся, в виде исключения, к одному специально придуманному примеру. Шеф секретной службы некоторой вымышленной страны пожелал узнать, сколько денег он должен предложить гражданам соседнего государства, чтобы они доставляли ему некоторую тайную информацию. Для этой цели через своего посредника он предлагает первой группе 1000 долларов и отмечает, сколько человек соглашаются на его предложение вести шпионскую деятельность. Второй группе он предлагает 2000 долларов и вновь отмечает себе количество попаданий в цель. Он продолжает предлагать деньги и дальше, действуя таким пошаговым образом и доходит до суммы 10000 долларов. При этом исследованиям подвергаются две различные категории людей. К первой категории относятся люди, которые недовольны своим материальным положением, ко второй — люди, удовлетворенные своим материальным положением.

Для обеих категорий шеф секретной службы желает выяснить, сколько он должен предложить денег, чтобы достичь желаемой доли положительных ответов. К примеру, его интересует сумма, которую он должен заплатить, чтобы на его предложение согласилась половина опрашиваемой группы.

Для обеих категорий удовлетворенности материальным положением (доволен — недоволен) в нижеследующей таблице представлены долларовые суммы в порядке возрастания, количество вовлечённых в эксперимент людей (nges) и количество фактически завербованных шпионов (п).

группа	доллар	количество вовлечённых в эксперимент людей	количество фактически завербованных шпионов
недоволен	1000	59	8
недоволен	2000	56	22
недоволен	3000	53	28
недоволен	4000	49	30
недоволен	5000	51	35
недоволен	6000	43	34
недоволен	7000	40	36
недоволен	8000	45	41
недоволен	9000	40	38
недоволен	10000	35	34
доволен	1000	61	1
доволен	2000	45	13
доволен	3000	52	21
доволен	4000	45	22
доволен	5000	46	26
доволен	6000	38	27
доволен	7000	45	35
доволен	8000	42	33
доволен	9000	37	32
доволен	10000	36	33

Эта информация построчно хранится в файле dollar.sav (переменные: gruppe, dollar, nges, n).

Откройте файл dollar.sav.
Выберите в меню Analyze (Анализ) Regression (Регрессия) Pmbit... (Пробит)

Откроется диалоговое окно Probit Analysis (Пробит-анализ).

Рис. 16.22: Диалоговое окно Probit Analysis (Пробит-анализ)

Поочерёдно перенесите переменные п в поле частоты отклика, переменную nges в поле наблюдаемого общего количества, переменную gruppe в поле факторов и переменную dollar в поле ковариат.
При помощи соответствующей кнопки для факторной переменной необходимо определить область принадлежности; для нашего примера она равна целым числам: 1 и 2.
Стандартным подходом при проведении пробит-анализа стало логарифмическое преобразование значений ковариат (при помощи десятичного логарифма); задайте и Вы это преобразование.
Оставьте установку обычной пробит-модели и щёлкните на кнопке опций. Дополнительно к установленным статистикам активируйте тест параллельности, который является уместным при анализе разнообразных групп.
Начните расчёт нажатием ОК.

Результирующие данные выводятся в старой табличной форме и являются довольно обширными. На одном из первых шагов определяются так называемые "пробиты". Они представляют собой стандартные значения, которые отвечают площади под частью кривой стандартной нормального распределения, соответствующей отношению частоты положительных ответов к общей частоте. Так, в первой группе, которой предлагалось по 1000 долларов, это предложение приняли 8 человек из 59, что соответствует относительной доле, равной

р=8/59= 0,1356

Это значение интерпретируется как часть площади под кривой стандартного нормального распределения (которая, как известно, суммарно нормирована к 1). По соответствующей статистической таблице можно установить, что стандартное значение равно -1,10. Это значение является пробитом к дозировке 1000 долларов.

Упомянутые пробиты для обеих групп в зависимости от логарифма дозировки представлены на одной диаграмме, которую вы можете увидеть в окне просмотра:

Для обеих групп график является практически линейным, что является предпосылкой для дальнейших рассуждений. В противном случае дополнительно следовало было бы рассматривать ход процесса воздействия на основе исходных значений (то есть без логарифмического преобразования).

Рис. 16.23: Отклики, трансформированные пробитом

Для обеих кривых определяется уравнение регрессионных прямых, причём для обеих прямых вычисляется общий угол наклона:

Regression Coeff.	Standard Error	Coeff./S.E.
DOLLAR	2,78749	,17640	15,80205
Intercept	Standard Error	Intercept/S.E.	GRUPPE
-9 ,59552	,63415	-15, 13130		1
2

-9 ,99490	,64731	-15,44060
Pearson Goodness -of -Fit Chi Square=10,043 DF = 17 P = ,902
Parallelism Test Chi Square = ,164 DF = 1 P = ,686

При тесте на качество согласия большое значение р (как в рассматриваемом примере) указывает на лучшее приближение. Второй тест по критерию хи-квадрат проясняет вопрос, действительно ли обе прямые могут рассматриваться как параллельные. Параллельности прямых соответствует незначимый результат теста (как в рассматриваемом случае).

Если мы рассмотрим уравнение регрессии для первой группы, то получим следующее уравнение, прогнозирующее значение пробита:

Probit= 2,78749xlog(Dollar)- 9,59552

Для значения 1000 долларов получим

Probit= 2,78749x3- 9,59552= - 1,2331

Если мы вновь обратимся к статистической таблице, содержащей значения стандартной кривой нормального распределения, то полученному стандартизированному значению в данном случае соответствует площадь 0,10878. Это значение используется для того, чтобы определить ожидаемую частоту отклика:

59x0,10878= 6,418

Полученные результаты сведены в следующую таблицу:

Number of Observed Expected
GRUPPE	DOLLAR	Subjects Responses Responses Residual	Prob
1	3	, 00	59	,0	8	,0		6,418	1	,582	,10878
1	3	,30	56	,0	22,	0	19	,422	2	,578	,34681
1	3	,48	53	,0	28,	0	28	,546	-	,546	,53860
1	3	, 60	49	,0	30,	0	32	, 923	-	2, 923	, 67191
1	3	,70	51	,0	35,	0	38	, 902	-	3, 902	,76279
1	3	,78	43	,0	34,	0	35	,491	-	1,491	,82537
1	3	, 85	40	,0	36,	0	34	,768	1	,232	,86921
1	3	, 90	45	,0	41,	0	40	,522	,	478	, 90048
1	3	, 95	40	,0	38,	0	36	,928	1	,072	, 92319
1	4	,00	35	,0	34,	0	32	,899	1	,101	, 93996
2	3	,00	61	,0	1,	0	3,	129	-	2,129	,05129
2	3	,30	45	,0	13,	0	9,	621	3	,379	,21380
2	3	,48	52	,0	21,	0	19	,820	1	,180	,38115
2	3	,60	45	,0	22,	0	23	,322	-	1,322	,51826
2	3	,70	46	,0	26,	0	28	,703	-	2,703	,62397
2	3	,78	38	,0	27,	0	26	,761	,	239	,70425
2	3	,85	45	,0	35,	0	34	,436	,	564	,76524
2	3	,90	42	,0	33,	0	34	,100	-	1,100	,81190
2	3	,95	37	,0	32,	0	31	,373	f	627	,84791
2	4	,00	36	/o	33,	0	31	,535	1	,465	,87597

Сразу же после этой таблицы для заданных вероятностей ( вероятности здесь следует понимать, как отношение частоты желательного отклика к общему числу испытуемых) выводятся значения необходимых дозировок (в нашем случае: денежная сумма в долларах) и их 95%-ый доверительный интервал. Ниже приводится таблица значений для первой группы:

95% Confidence Limits
Prob	DOLLAR	Lower	Upper
,01	405,30868	289,59056	529,15509
,02	507,66784	373,66257	647,93485
,03	585,63448	439,14578	736,94514
, 04	652,08194	495,79196	811,99633
,05	711,65439	547,15681	878,74346
,06	766,62851	594,99562	939,94335
, 07	818,31336	640,32303	997,17444
,08	867,54082	683,78664	1051,43643
,09	914,87813	725,82978	1103,40905
,10	960,73191	766,77131	1153,57841
, 15	1176,35221	961,74200	1387,62679
,20	1381,73708	1150,43739	1608,52696
,25	1586,29202	1340,43221	1827,40833
,30	1795,67203	1536,35222	2050,97344
,35	2014,28728	1741,83765	2284,49983
,40	2246,29254	1960,31730	2533,03836
,45	2496,16365	2195,45599	2802,13038
,50	2769,19498	2451,53866	3098,44683
,55	3072,09057	2733,92871	3430,56245
, 60	3413,82108	3049,73874	3810,08632
,65	3807,02441	3408,93562	4253,51516
, 70	4270,51303	3826,32195	4785,56534
,75	4834,19240	4325,40532	5445,75782
,80	5549,85527	4946,81830	6303,01441
,85	6518,83063	5769, 66817	7493,47901
, 90	7981,87380	6980,17468	9345,15098
, 91	8381,92608	7305,70121	9861,25890
,92	8839,28528	7675,37386	10455, 92397
, 93	9371,03216	8102,08907	11153,16983
,94	10002,81198	8605,11895	11989,28434
,95	10775,51263	9215,02568	13022,52271
, 96	11759, 93430	9984,40147	14354,56418
, 97	13094,24400	11015,11467	16185,74513
,98	15105,23259	12545,80989	18995,72850
, 99	18920,00171	15388,14261	24468,76250

Для того, чтобы переманить на свою сторону половину группы граждан чужой страны, недовольных своим финансовым положением (Prob = 0,5), начальник секретной службы должен предложить каждому по 2769 долларов, причём с 95%-ой вероятностью эта сумма колеблется от 2452 до 3098 долларов. Для группы довольных финансовым положением (для которой распечатка данных здесь не приведена) придётся заплатить больше: 3852 доллара, с 95%-ым доверительным интервалом эта сумма колеблется от 3437 до 4296 долларов.

Отношение этих двух значений медиан составит:

2769/3852= 0,719

Это соотношение отображается в небольшой статистической сводке:

Estimates of Relative Median Potency
	95%	Confidence	Limits
GRUPPE 1 VS. 2	Estimate ,7190	Lower ,60280	Upper ,84419

Если Вы в диалоговом окне выберите не пробит, а логит-модель, то отношение частоты положительных откликов к общему количеству опрашиваемых р заменяется выражением

Содержание раздела